Algèbre linéaire Exemples

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$ par $\frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$ par $\frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{4 + 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{- 1}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$

Étape 2.4.2

Réécrivez $- 1 \cdot ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$ comme $- ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$ .

$- ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$

Étape 3

Développez $(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 (2 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (2 + \sqrt{5}))$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 + \sqrt{5}))$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2 + \sqrt{5} \sqrt{5})$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2 + \sqrt{5} \sqrt{5})$

Étape 4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5})$

Étape 4.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5})$

Étape 4.1.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{25})$

Étape 4.1.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}})$

Étape 4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + 5)$

Étape 4.2

Additionnez $6$ et $5$ .

$- (11 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5})$

Étape 4.3

Additionnez $3 \sqrt{5}$ et $2 \sqrt{5}$ .

$- (11 + 5 \sqrt{5})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 11 - (5 \sqrt{5})$

Étape 6

Multipliez.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$- 11 - (5 \sqrt{5})$

Étape 6.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 11 - 5 \sqrt{5}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 11 - 5 \sqrt{5}$

Forme décimale :

$- 22.18033988 \dots$